| Re:Wieder mal ein Matherätsel |  |
>>Ein Sultan hat einen Palast mir vielen Gewölben.
>>In jedem Gewölbe stehen genau so viele Truhen wie der Palast Gewölbe hat.
>>In jeder Truhe sind genau so viele Goldmünzen wie der Palast Gewölbe hat.
>>
>>Der Sultan möchte seinen Großwesir für eine gute Tat belohnen.
>>Er darf wählen ob er 1 Goldmünze nimmt oder genau eine der Truhen aus dem Gewölbe.
>>Allerdings ist der Sultan sehr gerecht und möchte sein Erbe unter seinen 6 Söhnen aufteilen können. Daher bekommt der Großwesir die Belohnung nur wenn der Sultan den Rest seines Goldes dann genau unter seinen 6 Söhnen aufteilen kann, und zwar in ganzen Goldmünzen.
>>
>>Welche Wahl soll der Großwesir treffen?
>
>Sei n die Zahl der Gewölbe, dann gibt es n*n Truhen und damit n*n*n oder n^3 Münzen.
>Damit der Großwesir eine komplette Truhe nehmen kann muss er sicher sein, dass die restlichen Münzen durch 6 teilbar sind. Also muss folgendes gelten:
>
>n^3 - n muss für alle n aus den natürlichen Zahlen durch 6 teilbar sein.
>
>Dass wird man vermutlich durch vollständige Induktion beweisen können, aber das scheint mir auf den ersten Blick ziemlich umfangreich zu sein.
Das geht sogar relativ schnell für alle n => 2:
n = 2:
2^3 -2 = 1 * 6
n -> n+1:
(n+1)^3-(n+1) = n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1 - n - 1 =
(n^3 -n) + 3n(n+1) = Induktionsvoraussetztung: Es gib eine natürliche Zahl m so dass gilt (n^3-n) = 6 m
->
6 m + 3 n (n+1) = entweder n oder n+1 ist eine gerade zahl >= 2, o.B.d.A sei dass n
somit gilt:
6 m + 3 x 2 x k x (n+1) = 6 m +6 k (n+1) = 6(m +k (n+1))
q.e.d.
gruß